(1) a)
On a $w_n=v_n-u_n$ alors
$\begin{eqnarray} w_{n+1}=v_{n+1}-u_{n+1} & = & \dfrac{1}{4}(u_n+3v_n)-\dfrac{1}{3}(u_n+2v_n) \\ & = & \dfrac{3(u_n+3v_n)-4(u_n+2v_n)}{12} \\ & = & \dfrac{-u_n+v_n}{12} \\ & = & \dfrac{1}{12}(v_n-u_n) \\ & = & \dfrac{1}{12}w_n \end{eqnarray}$
Donc

b) Puisque $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{12}$ et de premier terme $w_0=11$ alors $w_n=10.\left( \dfrac{1}{12} \right)^{n}$ donc :

(2) a)
On a
$\begin{eqnarray} u_{n+1}-u_n &=& \dfrac{1}{3}(u_n+2v_n)-u_n \\ &=& \dfrac{u_n+2v_n-3u_n}{3} \\ &=& \dfrac{2(v_n-u_n)}{3} \geqslant 0 \end{eqnarray}$

b)
On a
$\begin{eqnarray} v_{n+1}-v_n &=& \dfrac{1}{4}(u_n+3v_n)-v_n \\ &=& \dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4} \\ &=& \dfrac{u_n-v_n}{4} \leqslant 0 \end{eqnarray}$

c)
On a $v_n-u_n=w_n\geqslant 0 \Longleftrightarrow u_n\leqslant v_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
Puisque $(u_n)$ est croissante alors minoré par $u_0$ et $(v_n)$ est décroissante alors majoré par $v_0$

3)
On a $(u_n)$ est une suite croissante et majoré par $v_0=12$ alors $(u_n)$ est convergente et soit $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$ de même $(v_n)$ est une suite décroissante et minoré par $u_0=1$ alors $(v_n)$ est convergente et soit $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=\ell'$. Puisque $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}(v_n-u_n)=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}w_n=0$ alors $\ell=\ell'$.

(4) a)
$\begin{eqnarray} t_{n+1}&=& 3u_{n+1}+8v_{n+1}\\ &=& 3\times \dfrac{1}{3}(u_n+2v_n) +8\times \dfrac{1}{4}(u_n+3v_n)\\ &=& u_n+2v_n+2\times (u_n+3v_n)\\ &=& 3u_n+8v_n\\ &=& t_n \end{eqnarray}$

b)
$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\to +\infty}t_n&=& \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(3u_n+8v_n)\\ &=& 3\times \ell +8\times \ell \\ &=& 11\ell \end{eqnarray}$