(1) On a
$\begin{eqnarray} w_{n+1}=u_{n+1}-v_{n+1} & = & \dfrac{1}{2}(u_n+v_n)-\dfrac{1}{4}(u_n+3v_n) \\ & = & \dfrac{2(u_n+v_n)-(u_n+3v_n)}{4} \\ & = & \dfrac{u_n-v_n}{4} \\ &=& \dfrac{1}{4}w_n \end{eqnarray}$
Alors

(2) Puisque $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $w_0=-3$ donc :

(3) Pour tout $n\in \mathbb{N}^*$
$\begin{eqnarray} u_{n+1}-u_n &=& \dfrac{1}{2}(u_n+v_n)-u_n \\ &=& \dfrac{u_n+v_n-2u_n}{2} \\ &=& \dfrac{v_n-u_n)}{2}\\ &=& -\dfrac{w_n}{2} \geqslant 0 \end{eqnarray}$

On a
$\begin{eqnarray} v_{n+1}-v_n &=& \dfrac{1}{4}(u_n+3v_n)-v_n \\ &=& \dfrac{u_n+3v_n-4v_n}{4} \\ &=& \dfrac{u_n-v_n}{4}\\ &=& \dfrac{w_n}{4} \leqslant 0 \end{eqnarray}$

Conclusion
$\begin{cases} \text{Pour tout $n\geqslant 0$,} \text{$\, \,$ $u_n\leqslant v_n$ car $w_n$ est négatif} \\ \text{$(u_n)$ est croissante et} \text{$(v_n)$ est décroissante}\\ \displaystyle\lim_{n\to +\infty}(u_n-v_n)=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}w_n=0 \end{cases}$

(4)
$\begin{eqnarray} \dfrac{1}{2}u_{n+1}+v_{n+1}&=& \dfrac{u_n+v_n}{4}+\dfrac{u_n+3v_n}{4}\\ &=& \dfrac{2u_n+4v_n}{4}\\ &=& \dfrac{u_n+2v_n}{2}\\ &=& \dfrac{1}{2}u_{n}+v_{n} \end{eqnarray}$

(5)
On a $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite $\ell$.
Par passage à la limite dans l'égalité $\dfrac{1}{2}u_{n}+v_{n}=12$, on obtient $ \dfrac{1}{2}\ell +\ell =12$ alors $ \dfrac{3}{2}\ell =12$.