Exercice sur les suites : suite de Fibonacci

La suite de fibonacci est une suite définie par :
$$ F_0=0\, \, \, \, \, \, F_1=1 $$ $$\, \, \, \, \, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\, ,\, \, \, \, n\geqslant 2 $$ (1) Calculer les 10 premiers termes de la suite de fibonacci.
(2) On cherche s'il peut exister des constantes $\, \, \, \phi ,\psi , c \in \mathbb{R}\, \, \, $telles que :
$$ F_n=c(\phi^n - \psi^n)$$
Calculer les constantes qui conviendraient.

• (a) On pose $G_n=\phi^n.\,$ Quelle équation doit satifaire $\, \, \, \phi \, \, \,$ afin que $\, \, G_n=G_{n-1}+G_{n-2}\, ? $
• (b) Resoudre cette équation.
• (c) Calculer $\, c,\, \phi ,\, \psi .$

(3) On note $\, \, H_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(\phi^n-\psi^n)\, \,$ où $\, \, \phi =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\, \, $ et $\, \, \psi =\dfrac{1-\sqrt{5}}{2} $.
• (a) Vérifier que $\, \, F_n=H_n \, \,$ pour les premières valeurs de $\, n $
• (b) Montrer à l'aide de calcul formel que $\, H_n=H_{n-1}+H_{n-2}\, $ Conclure.